概述
贝叶斯优化算法是机器学习领域一种经典的优化算法，本文从一个实际的问题出发 使用python代码， 一步步实现BO算法。
BO算法基本流程
一个经典的Bayesian Optimization流程如下。
是
否
初始化
选择代理模型
定义目标函数
选择初始样本点
代理模型拟合
选择采集函数
优化采集函数
评估新的样本点
终止条件
输出最优解
高斯过程
我们知道，高斯过程是用来替代昂贵的目标函数的，也就是流程图里的代理模型。比如说，我们的机器性能很差，计算要花费1个小时（当然，这里只是做一个假设，因为实际工程上的目标函数十分复杂，计算一次要非常久），所以我们就要使用一个其它的万能函数来代替目标函数，这个过程就是高斯过程回归。
class GaussianProcess: def __init__(self, kernel_variance=1.0, noise_variance=1e-10): self.kernel_variance = kernel_variance self.noise_variance = noise_variance self.X_train = None self.y_train = None self.alpha = None self.L = None def kernel(self, X1, X2): sqdist = np.sum(X1**2, 1).reshape(-1, 1) + np.sum(X2**2, 1) - 2 * np.dot(X1, X2.T) return self.kernel_variance * np.exp(-0.5 * sqdist) def fit(self, X_train, y_train): self.X_train = X_train self.y_train = y_train K = self.kernel(X_train, X_train) + self.noise_variance * np.eye(len(X_train)) self.L = np.linalg.cholesky(K) self.alpha = np.linalg.solve(self.L.T, np.linalg.solve(self.L, y_train)) def predict(self, X_s): K_s = self.kernel(self.X_train, X_s) K_ss = self.kernel(X_s, X_s) + 1e-8 * np.eye(len(X_s)) v = np.linalg.solve(self.L, K_s) mu_s = K_s.T.dot(self.alpha) cov_s = K_ss - v.T.dot(v) return mu_s, np.diag(cov_s)
我们看上面这个高斯过程，init函数用来初始化所有的变量，高斯过程涉及到三个比较重要的函数
核函数
核函数（也称为协方差函数）用于衡量输入数据点之间的相似性，这里我们使用RBF核函数
拟合函数 fit
这一步骤也可以叫做回归过程，就像最小二乘法求一次函数系数也叫做回归一样，我们要使用高斯函数去预测未知点的均值 和，我们也必须要求出高斯过程中的一些“回归系数”，这里我们需要按照下面的式子计算未知点的值
对于上述公式中的 ,我们使用 表示, 可以从方程 解出。
对应到代码里，我们可以看到除了 ，我们还将 分解成为了一个下三角矩阵 ,之所以这样做是因为矩阵 是拟合过程中所有点的协方差，衡量输入点的相似度，该矩阵中的某些数值可能会导致直接求逆出现数值不稳定，所以我们将其分解为下三角矩阵。同时由于该矩阵是正定对称矩阵，我们在代码中使用Cholesky分解可以更快得到结果。
def fit(self, X_train, y_train): self.X_train = X_train self.y_train = y_train K = self.kernel(X_train, X_train) + self.noise_variance * np.eye(len(X_train)) self.L = np.linalg.cholesky(K) self.alpha = np.linalg.solve(self.L.T, np.linalg.solve(self.L, y_train))
预测函数 predict
预测函数predict的作用是当输入一个不知道y值的x，我们根据高斯过程中已知的量和方程 去求出对应的预测值。这里的 和 分别代表预测出来的平均值和方差
有了这个高斯过程之后我们来理解BO过程，贝叶斯优化算法，说白了也就是生成一大堆数据点，然后找到数据点里值最小的点，但是一般我们目标函数计算开销很大，所以我们使用高斯模型计算这些点。
这里有一个问题，我们的高斯模型计算出来的值是平均值和方差，所以要有一个acquisition_function利用平均值和方差计算预测的值，当我们求最小值时，我们可以直接用平均值减去方差。
高斯过程给出的预测的值并不是实际值，我们拿到acquisition_function给出的预测值后，找到最小的点，然后求出该点的实际值，把该点加入GP过程的fit函数，对代理模型进行更新，重复这个过程直到达到最大迭代次数，或者值的精度达到了要求。
本文用的python代码
import numpy as np def objective_function(x, z): return x**2 + z**2 class GaussianProcess: def __init__(self, kernel_variance=1.0, noise_variance=1e-10): self.kernel_variance = kernel_variance self.noise_variance = noise_variance self.X_train = None self.y_train = None self.alpha = None self.L = None def kernel(self, X1, X2): sqdist = np.sum(X1**2, 1).reshape(-1, 1) + np.sum(X2**2, 1) - 2 * np.dot(X1, X2.T) return self.kernel_variance * np.exp(-0.5 * sqdist) def fit(self, X_train, y_train): self.X_train = X_train self.y_train = y_train K = self.kernel(X_train, X_train) + self.noise_variance * np.eye(len(X_train)) self.L = np.linalg.cholesky(K) self.alpha = np.linalg.solve(self.L.T, np.linalg.solve(self.L, y_train)) def predict(self, X_s): K_s = self.kernel(self.X_train, X_s) K_ss = self.kernel(X_s, X_s) + 1e-8 * np.eye(len(X_s)) v = np.linalg.solve(self.L, K_s) mu_s = K_s.T.dot(self.alpha) cov_s = K_ss - v.T.dot(v) return mu_s, np.diag(cov_s) def acquisition_function(mu, sigma, kappa=2.0): return mu - kappa * sigma def bayesian_optimization(n_iter=500, bounds=(-10, 10)): # 初始化 X_train = np.random.uniform(bounds[0], bounds[1], (5, 2)) y_train = np.array([objective_function(x[0], x[1]) for x in X_train]) gp = GaussianProcess() gp.fit(X_train, y_train) for _ in range(n_iter): # 预测 X_sample = np.random.uniform(bounds[0], bounds[1], (100, 2)) mu, sigma = gp.predict(X_sample) # 计算采集函数 acquisition_values = acquisition_function(mu, sigma) # 选择下一个评估点 next_sample = X_sample[np.argmin(acquisition_values)] # 评估目标函数 y_next = objective_function(next_sample[0], next_sample[1]) # 更新数据集 X_train = np.vstack((X_train, next_sample)) y_train = np.append(y_train, y_next) # 重新拟合高斯过程 gp.fit(X_train, y_train) return X_train[np.argmin(y_train)], np.min(y_train) # 运行贝叶斯优化best_point, best_value = bayesian_optimization()print(f"Optimal value of x and z: {best_point}")print(f"Minimum value of objective function: {best_value}")
程序输出结果如下：
Optimal value of x and z: [ 0.00952015 -0.0112046 ]
Minimum value of objective function: 0.0002161764355009679
